58问答库 > 已知X^2+Y^2⼀2=1，X是正数，求根号下X^2(1+y^2)最大值

已知X^2+Y^2⼀2=1，X是正数，求根号下X^2(1+y^2)最大值

已知X^2+Y^2/2=1，X是正数，求根号下X^2(1+y^2)最大值

2025-05-21 16:59:37

推荐回答（2个）

回答（1）：

X^2 + Y^2/2 +- XY= (X-Y)^2 >= 0
+-XY <= 1
>= X^2Y^2 <=1 * 1
1/2 Y^2 >= 0,X^2= 1-1/2 Y^2 <= 1 * 2
*1+*2得

X^2Y^2 + X^2 大于0 小于等于 1+1=2
根号下X^2(1+y^2)小于等于根号下2

答案是根号下2

回答（2）：

已知X,Y都是正数, X^2 + Y^2/2 =1
所以 0 < X^2 < 1
Y^2 = 2 - 2 X^2

X√(1+Y^2)
= X √(3 - 2X^2)
= √(3X^2 - 2X^4)
= √2 * √[9/16 - (9/16 - 3X^2 /2 + X^4)]
= √2 * √[9/16 - (3/4 - X^2)^2]

0 < X^2 < 1 , 所以 3/4 - X^2 = 0 可以实现

因此原式最大值为
M = √2 * √(9/16 - 0)
= √2 * 3/4
= 3√2 /4