A、∵a+b=0，∴a与b互为相反数，∴|a|=|b|，故本选项正确；B、|a|=|b|，则a+b=0或a=b，故本选项错误；C、|a|=-|b|，则a=b=0，故本选项错误；D、a-b=0，则a=b，但不一定都等于0，故本选项错误．故选A．
