已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；（Ⅱ）设实数a＞0，求函数F（x）=f

2025-05-22 02:13:18

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回答（1）：

（Ⅰ）∵f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
∵f（e）=e又∵k=f′（e）=2
∴函数y=f（x）的在x=e处的切线方程为：y=2（x-e）+e，即y=2x-e．
（Ⅱ）F′（x）=

（lnx+1），
令F′（x）=0得x=

当x∈（0，

），F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x∈（

，+∞），F′（x）＞0，F（x）单调递增．
当a≥

时，F（x）在（0，2a）递增，F（x）_min=F（a）=lna，
当a＜

＜2a，即

＜a＜

时，F（x）_min=F（

）=-

，
当2a≤

即0＜a≤

时，
F（x）在[a，2a]递减，F（x）_min=F（2a）=2ln（2a）．