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已知等差数列{a n }为递增数列，且a 2 ，a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项和T n =1-
已知等差数列{a n }为递增数列，且a 2 ，a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项和T n =1-
2025-05-12 20:05:17
推荐回答（1个）
回答（1）：
（1）①∵等差数列{a
n
}为递增数列，且a
2
，a
5
是方程x
2
-12x+27=0的两根，
∴a
2
+a
5
=12，a
2
a
5
=27，
∵d＞0，∴a
2
=3，a
5
=9，
∴d=
a
5
-
a
2
3
=2，a
1
=1，
∴a
n
=2n-1（n∈N
*
）
②∵T
n
=1-
1
2
b
n
，
∴令n=1，得b
1
=
2
3
，
当n≥2时，T
n
=1-
1
2
b
n
，T
n-1
=1-
1
2
b
n-1
，两式相减得，b
n
=
1
2
b
n-1
-
1
2
b
n
，
∴
b
n
b
n-1
=
1
3
（n≥2），
数列{b
n
}是以
2
3
为首项，
1
3
为公比的等比数列．
∴bn=
2
3
?
(
1
3
)
n-1
=
2?
1
3
n
（n∈N
*
）．
（2）∵bn=
2?
1
3
n
，C
n
=
3
n
b
n
a
n
a
n+1
，
∴C
n
=
3
n
×2×
1
3
n
(2n-1)(2n+1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1
．
∴S
n
=
(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+
…+
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1-
1
2n+1
=
2n
2n+1
．
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