58问答库 > 各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2an2+an-1．（1）求数列{a

各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2an2+an-1．（1）求数列{a

2025-05-14 06:44:13

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回答（1）：

（1）∵2S_n=2a_n²+a_n-1，∴2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1，
两式相减得：2a_n+1=2（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）+（a_n+1-an），
即（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0．
∵a_n＞0，∴2a_n+1-2a_n-1=0，∴a_n+1-a_n=

．
∴数列{a_n}是以1为首项，

为公差的等差数列，
∴a_n=

n+1

．
（2）∵b_n=

n+1

2n+1

，
∴T_n=

+…+

n+1

2n+1

，①

T_n=

+…+

n+1

2n+2

，②
①-②得

T_n=

+…+

2n+1

n+1

2n+2

(1?

2n?1

)

n+1

2n+2

2n+1

n+1

2n+2

，
∴T_n=

n+1

2n+1

n+3

2n+1

．