（Ⅰ）由2nan+1=（n+1）an，得
＝an+1 n+1
?1 2
，（1分）a1 n
即数列{
}是以an n
为首项，以1 2
为公比的等比数列，∴an＝1 2
（3分）n 2n
（Ⅱ）∵an＞0，bn＝ln(1+an)+
an2＞0，n∈N*，1 2
∴要证明
＜2
an+2
，只需证明2bn＜an2+2an，an bn
即证bn?
an2?an＜0，即证明ln（1+an）-an＜0成立．（5分）1 2
构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），（6分）
则f′(x)＝
?1＝1 1+x
，当x＞0时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，?x 1+x
故f（x）＜f（0）=0．∴ln（1+x）-x＜0，即ln（1+an）-an＜0对一切n∈N*都成立，
∴
＜2
an+2
．（8分）an bn
（Ⅲ）∵2bn-an2=2ln（1+an），由（Ⅱ）可知，2bn-an2=2ln（1+an）＜2an，
∴2Bn-An＜2（a1+a2++an）=2(
+1 2
+2 22
++3 23
)（10分）n 2n
利用错位相减求得：
+1 2
+2 22
++3 23
＝2?n 2n
＜2，∴2Bn-An＜4（12分）n+2 2n
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