△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DG⊥EF，求证：DG平分∠BGC

2025-05-18 05:07:11

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回答（1）：

证明：连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK，OF，OD．则：
∵△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，
∴BF=BD，CD=CE，
∴BN⊥DF，CK⊥DE，∠FBN=

∠FBD，
∵∠DOF=2∠E，∠DOF+∠FBD=180°，∠GDE+∠E=90°，
∴∠FBN=∠EDG，
∵DG⊥EG，
∴∠BNF=∠DGE=90°，
∴Rt△BFN ∽ Rt△DEG，

2GE

（2分）
同理：Rt△CEK ∽ Rt△DFG，

2FG

（2分）
∴BF?GE=

DF?DE=CE?FG（4分）
∴

，而∠BFG=∠CEG（2分）
∴△BFG ∽ △CEG，于是∠BGF=∠CGE．
∵DG⊥EF，∴∠BGD=∠CGD．
即DG平分∠BGC．