58问答库 > 设Ω是由z=√(x^2+y^2)及z=√(1-x^2-y^2)做组成，计算∫∫∫(x+z)dv

设Ω是由z=√(x^2+y^2)及z=√(1-x^2-y^2)做组成，计算∫∫∫(x+z)dv

2025-02-17 08:15:44

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回答（1）：

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>rdr∫(rcosθ+z)dz (应用柱面坐标变换)
=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>rdr*[(rcosθ*+z²/2)│]
=∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>r[(r√(1-r²)-r²)cosθ+1/2-r²]dr
=∫<0,2π>cosθdθ∫<0,1/√2>[(r²√(1-r²)-r³)]dr+∫<0,2π>dθ∫<0,1/√2>(r/2-r³)dr
=[(sinθ)│<0,2π>]*∫<0,1/√2>[(r²√(1-r²)-r³)]dr+[(θ)│<0,2π>]*[(r²/4-r^4/4)│<0,1/√2>]
=(0-0)*∫<0,1/√2>[(r²√(1-r²)-r³)]dr+(2π-0)*(1/8-1/16-0+0)
=0+2π(1/8-1/16)
=π/8