58问答库 > 已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0，直线l:y=kx，且l与圆C相交于P、Q两点，点M（0，b）

已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0，直线l:y=kx，且l与圆C相交于P、Q两点，点M（0，b）

2025-05-14 22:06:33

推荐回答（3个）

回答（1）：

1、MP斜率为(1-y1)/(-x1)，MQ斜率为(1-y2)/(-x2)
∵MP⊥MQ，∴(1-y1)/(-x1)*(1-y2)/(-x2)=-1 1-y1-y2+y1y2=-x1x2 式子1
将y=kx代入圆的方程 x²+k²x²-2x-2kx+1=0
得到x1x2=c/a=1/(1+k²)，x1+x2=-b/a=(2+2k)/(1+k²)
因为y=kx 所以y1y2=kx1kx2=k²/(1+k²)，y1+y2=(2k²+2k)/(1+k²)
代入式子1得 1-(2k²+2k)/(1+k²)+k²/(1+k²)=-1/(1+k²)
两边同乘以1+k²，解得 k=1
2、MP斜率为(b-y1)/(-x1)，MQ斜率为(b-y2)/(-x2)
∵MP⊥MQ，∴(b-y1)/(-x1)*(b-y2)/(-x2)=-1 b²-b(y1+y2)+y1y2=-x1x2
代入得b²-b(2k²+2k)/(1+k²)+k²/(1+k²)=-1/(1+k²)
(b-1)²k²-2bk+b²+1=0

回答（2）：

呢个人明显就是复制粘贴的，擦擦，看呢第二问答案，害死我了

回答（3）：

画图是可以看出来的，需要分类讨论，①f(1)*f(3/2)<0是由零点存在定理推出的，此时1到3/2区间内有一解。②至于f(1)>0,f(3/2)>0，则是对该函数在1到3/2区间内有一解或两解讨论的，此时函数可能对称点在x轴上和交x于两点，且必有对称轴在1到3/2区间内，因此又有1<(2k^2+k)/2(k^2+1)<3/2。