58问答库 > 已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1

已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1

2025-05-19 15:47:14

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回答（1）：

（1）由已知得f′（x）=3mx²+2nx，
又f′（2）=0，3m+n=0，即n=-3m；
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx³-3mx²，
∴f′（x）=3mx²-6mx．
令f′（x）＞0，得
当m＞0时，x＜0或x＞2，函数的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，解得0＜x＜2，函数的单调增区间为（0，2）．
综上，当m＞0时，函数的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，函数的单调增区间为（0，2）．
（3）由g（x）=f（x）+1-m=mx³-3mx²+1-m（m＞0），
g′（x）=3mx²-6mx=3mx（x-2）．
当g′（x）＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数g（x）的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞）；
当g′（x）＜0时，解得0＜x＜2，则函数g（x）的单调减区间为（0，2）．
∴g（x）有极大值g（0）=1-m和极小值g（2）=1-5m．
∵函数g（x）=f（x）+1-m有三个零点，
∴

1?m＞0

1?5m＜0

，解得：

＜m＜1．