58问答库 > 已知数列{an}中,已知a1=1,an+1=an⼀1+2an,(1)求证数列{1⼀an}是等差数列；（2）求数列｛an｝的通项公式。

已知数列{an}中,已知a1=1,an+1=an⼀1+2an,(1)求证数列{1⼀an}是等差数列；（2）求数列｛an｝的通项公式。

2024-12-10 04:23:19

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回答（1）：

an+1=an/(1+2an) => 1/a(n+1)=(1+2an)/an=1/an+2
∴1/a(n+1)-1/an=2
∴{1/an}是等差数列
由1/a(n+1)-1/an=2可得
1/an-1/a(n-1)=2
1/a(n-1)-1/a(n-2)=2
......
1/a2-1/a1=2
将上述a2到an共n-1个等式加起来，得
1/an-1/a1=2*(n-1)
1/an=1/a1+2(n-1)
=1+2n-2
=2n-1
∴an=1/(2n-1)