58问答库 > 已知各项均为正数的数列{a n }满足a n+1 2 -a n+1 a n -2a n 2 =0，且a 3 +2是a 2 ，a 4 的等差中项．

已知各项均为正数的数列{a n }满足a n+1 2 -a n+1 a n -2a n 2 =0，且a 3 +2是a 2 ，a 4 的等差中项．

2025-05-13 23:53:36

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回答（1）：

（Ⅰ）∵a_n+1 ² -a_n+1 a_n -2a_n ² =0，∴（a_n+1 +a_n ）（a_n+1 -2a_n ）=0，
∵数列{a_n }的各项均为正数，
∴a_n+1 +a_n ＞0，
∴a_n+1 -2a_n =0，
即a_n+1 =2a_n ，所以数列{a_n }是以2为公比的等比数列．
∵a₃ +2是a₂ ，a₄ 的等差中项，
∴a₂ +a₄ =2a₃ +4，
∴2a₁ +8a₁ =8a₁ +4，
∴a₁ =2，
∴数列{a_n }的通项公式a_n =2ⁿ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b_n = a n lo g

a n 得，b_n =-n?2ⁿ ，
∵S_n =b₁ +b₂ ++b_n ，
∴S_n =-2-2?2² -3?2³ -4?2⁴ --n?2ⁿ ①
∴2S_n =-2² -2?2³ -3?2⁴ -4?2⁵ --（n-1）?2ⁿ -n?2ⁿ⁺¹ ②
①-②得，S_n =2+2² +2³ +2⁴ +2⁵ ++2ⁿ -n?2ⁿ⁺¹
=

2(1- 2 n )

1-2

-n? 2 n+1 =(1-n)? 2 n+1 -2 ，
要使S_n +n?2ⁿ⁺¹ ＞50成立，只需2ⁿ⁺¹ -2＞50成立，即2ⁿ⁺¹ ＞52，
∴使S_n +n?2ⁿ⁺¹ ＞50成立的正整数n的最小值为5．