请教高等数学中无穷小的性质的证明

2025-05-17 09:38:00

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回答（1）：

先证明两个无穷小量之积仍是无穷小量，再推广至有限个无穷小量之积。
设 lim [ A(x), x->x0 ] = lim [ B(x), x->x0 ] =0
任给ε >0 (ε <1), 存在 δ>0, 当 0< |x-x0 | < δ 时，恒有 | A(x) | <ε 及 | B(x) |<ε
于是 | A(x) B(x) | <= | A(x)| * | B(x) | < ε ^2 < ε
即证 lim [ A(x) B(x), x->x0 ] = 0
即当 x->x0 时 A(x) B(x) 是无穷小量。

回答（2）：

这个好证，因为对任意的无穷小量必定小于1，那么所有的无穷小量的乘积必定小于ε