58问答库 > 已知x属于(-无穷，1]时，不等式1+2^x+(a-a^2)4^x>0恒成立，则a的取值范围是

已知x属于(-无穷，1]时，不等式1+2^x+(a-a^2)4^x>0恒成立，则a的取值范围是

2025-05-22 08:41:57

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回答（1）：

解：
令t=2^x，当x属于(-∞，1]时，t属于(0，2]，
那么不等式1+2^x+(a-a^2)4^x>0恒成立，变为
f(a)=a²-a- (t+1)/t²＜0在t属于(0，2]上恒成立，
即a²-a小于(t+1)/t²在(0，2]上的最小值，
(t+1)/t²=(1/t)²+(1/t)=(1/t+1/2)²-1/4，
1/t∈[1/2，+∞)，
那么1/t=1/2，即t=2时，(t+1)/t²取到最小值3/4，
即a²-a＜3/4，
(2a+1)(2a-3)＜0，
-1/2＜a＜3/2。

回答（2）：

原式变形得：a-a^2 > (-1-2^x)/4^x,
即a^2-a <1/4^x+1/2^x,
即a^2-a < （1/2^x+1/2）^2 -1/4
由于x属于（负无穷，1],那么可解得：（1/2^x+1/2）^2 -1/4 >= 3/4
所以a只需满足：a^2-a < 3/4 即可
解得 -1/2 < a < 2/3

回答（3）：

原式变形得：a-a^2 +(1/4)^x+(1/2)^x>0
求a-a^2 +(1/4)^x+(1/2)^x=0的根得：
a1=1/2+1/2*(1+(1/4)^(x-1)+(1/2)^(x-2))^(1/2)
a2=1/2-1/2*(1+(1/4)^(x-1)+(1/2)^(x-2))^(1/2)
因此：(a-a1)*(a-a2)<0
由aa2, 且x属于(-无穷，1]得：
由a由a>a2且a2单调下降，得：a=>1/2-1/2*(1+0)^(1/2)=0
解得 0 <= a <= 1

回答（4）：

令Y=2^x，则Y∈（0，2]，代入不等式即
（a-a²）Y²+Y+1＞0恒成立。

再关于a-a²是否等于0进行讨论吧，结果就好求了，一下步骤省略，自己去写~

回答（5）：

0<=a<=1