58问答库 > 已知a>0,b>0,a≠b,证明：2⼀(a+b)<(lna-lnb)⼀(a-b)<1⼀√(ab) 麻烦能不能用简单而又详尽的方法解出来？

已知a>0,b>0,a≠b,证明：2⼀(a+b)<(lna-lnb)⼀(a-b)<1⼀√(ab) 麻烦能不能用简单而又详尽的方法解出来？

2025-05-17 04:03:37

推荐回答（5个）

回答（1）：

设a/b=x,则x>0,x≠1，
2/(a+b)<(lna-lnb)/(a-b)<1/√(ab）
<==>2/(bx+b)<==>2/(x+1)设f(x)=（x+1)lnx/(x-1),
则f'(x)=[(x-1)(lnx+1+1/x)-(x+1)lnx]/(x-1)^2
=(x-1/x-2lnx)/(x-1)^2
设h(x)=x-1/x-2lnx(x>0),则
h'(x)=1+1/x^2-2/x=(1-1/x)^2>0，
∴h(x)↑，h(1)=0,
∴01时f'(x)>0,
∴f(x)|inf=f(1)→2，
∴2/(x+1)同理，设g(x)=(√x)lnx/(x-1),则
g'(x)={(x-1)[lnx/(2√x)+1/√x]-(√x)lnx}/(x-1)^2
=[2(x-1)-(x+1)lnx]/[2(√x)(x-1)^2],
设F(x)=2(x-1)-(x+1)lnx(x>0),则
F'(x)=2-(lnx+1+1/x)=1-lnx-1/x,
F''(x)=-1/x+1/x^2=(1-x)/x^2,
易知F'(x)|max=F'(1)=0,
∴F(x)↓，F(1)=0,
仿上，g(x)|sup=g(1)→1，
∴lnx/(x-1)<1/√x。
不简单！

回答（2）：

假设：a>0 a=5 , b>0 b=20 a≠b
把a,b 值放进以下程式：
2/(5+20)<(ln5-ln20)/(5-20) (ln5-ln20)/(5-20)< 1/√(ab)
2/100< （-1.3863)/(-15) （-1.3863)/(-15) < 1 /√(100)
0.02 < 0.09242 0.09242 < 0.1
答案罗辑，证明 a>0,b>0,a≠b 是对的。
而且 a,b 一定要大过零因为 ln ( ) 少过零的数字是算不出答案的。
还有，如果 a=b ，将会出现零除零的状况：(lna-lnb)/(a-b)，那也是算不出答案的。

回答（3）：

因a>0，b>0，不妨设a>b。
设A(a，0)，D(b，0)，B(a，lna)，C(b，lnb)，则四边形ABCD是直角梯形，设此梯形的中位线是EF，其中E在BC上，F在AD上。且因函数y=lnx是递增的，则直角梯形在曲线y=lnx的下方。
我的想法是：是否可以利用2/(a＋b)、(lna－lnb)/(a－b)、1/√(ab)的几何意义来研究？？

回答（4）：

rty

回答（5）：

好难啊