【高二数学】已知a＞b＞0，求证：（a-b)눀⼀8a ＜ （a+b)⼀2— √（ab)＜ （a-b)눀⼀8b

因为a＞b＞0
要证 (a-b)^2/8a＜(a+b)/2-√ab＜（a-b)^2/8b
即证 (a-b)^2/8a＜(√a-√b)^2/2＜（a-b)^2/8b
即证 b(a-b)^2＜4ab(√a-√b)^2＜a(a-b)^2
即证 b(√a+√b)^2＜4ab＜a(√a+√b)^2
即证 (√a+√b)^2/a＜4＜(√a+√b)^2/b
即证 (1+√(b/a)^2＜4＜(√(a/b)+1)^2
即证 1+√(b/a)＜2＜√(a/b)+1
即证 √(b/a)＜1＜√(a/b)
即证 b/a＜1＜a/b
因为a＞b＞0
显然上式成立
所以：（a-b)²/8a ＜ （a+b)/2— √（ab)＜ （a-b)²/8b

(a-b)^2/8a＜(a+b)/2-√ab＜（a-b)^2/8b
得(a-b)^2/8a＜(√a-√b)^2/2＜（a-b)^2/8b
得b(a-b)^2＜4ab(√a-√b)^2＜a(a-b)^2
得b(√a+√b)^2＜4ab＜a(√a+√b)^2
得(√a+√b)^2/a＜4＜(√a+√b)^2/b
得(1+√(b/a)^2＜4＜(√(a/b)+1)^2
得1+√(b/a)＜2＜√(a/b)+1
得√(b/a)＜1＜√(a/b)
得 b/a＜1＜a/b
因为a＞b＞0
显然b/a＜1＜a/b成立
所以：（a-b)²/8a ＜ （a+b)/2— √（ab)＜ （a-b)²/8b

先证明（a-b)²/8a ＜ （a+b)/2— √（ab)，
首先（a+b)/2— √（ab)=（√a-√b)²/2;
（a-b)²/8a=[（√a-√b)（√a+√b)]²/8a=（√a-√b)²（√a+√b)²/8a;
不等式两边 同时 除去（√a-√b)² [注意说明（√a-√b)²＞0];
等价于 （√a+√b)]²/8a＜ 1/2;
进而化简（平方运算，加减乘运算） 等价于 2√a√b+b＜ 3a;
事实上a＞b， 2√a√b+b＜ 2√a√a+a=3a.得证。
证明（a+b)/2— √（ab)＜ （a-b)²/8b的过程与上面处理一样，不在细说，
最后 等价于2√a√b+a ＞3b;同理有2√a√b+a＞2√b√b+b=3b;
证毕