已知f(x+y)=f(x)+f(y),求此函数单调性

2025-05-16 09:35:43

推荐回答（4个）

回答（1）：

显然f(0)=0，f(x-x)=f(o)=f(x)+f(-x)，即f(x)=-f(-x),于是f(x)是奇函数，（负无穷，0）和（0，正无穷）的单调性相同，
设x>y，且x=y+d，d>0
f(x)-f(y)=f(y+d)-f(y)
=f(y)+f（d)-f(y)
=f(d)
=f(d/2+d/2)
=2f(d/2)=2^2f(d/2^2)=...=2^nf(d/2^n)
看来当f(d)>0 时，f(x)单增
当f(d)=0 f(x)常数是0
f(d)<0 f(x)单减
可能条件不够

回答（2）：

条件不足
f(x)=x和f(x)=-x都符合条件
但一个增，一个减

回答（3）：

求单调性还是奇偶性啊
对称性可以帮你证
首先令x=0 y=0则 f(0)=f(0)+f(0)
推出 f(0)=0
再让x=x y=-x则
f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0
推出 f(x)=-f(-x) 证得f(x)为奇函数
单调性条件不足

回答（4）：

黑色底裤