级数证明:若级数∑an收敛,则级数∑(an)눀,∑(an)대,推广到∑(an)^n是否都收敛.

这个命题成立是需要条件的：∑|an|收敛，而不是∑an收敛。
否则的话可以有像四楼的那个反例：an=（-1）^n（1/n）^（1/2）。
若前提是∑|an|收敛，则lim|an|=0，
那么lim|an^（n+1）|/|an^n|=lim|an|=0，以此类推，lim|an²|/|an|=0，
由于∑|an|收敛，由正项级数（划重点）审敛法可知，∑|an²|收敛，从而可以类推到∑|an^n|亦收敛，从而由绝对收敛的性质可知，∑an^n，∑an^（n-1），...，∑an²亦是收敛的。
之所以“∑an收敛”这个前提不够充分，那是因为在运算过程中可能会出现交错级数或者其他的任意级数的影响，那时候不能用正项级数的比较审敛法等等方式，而其中涉及的运算不确定性太多，所以这个前提不够充分，反例也很容易想出。

可能是你的表达有误，按你的叙述，结论不对。
举个例子，an=1/(n^2)，显然 ∑an 是收敛的。
然而，(an)^n ->1，所以 ∑(an)^n 是发散的。

我试试，希望能帮到你：
因为级数an无限项求和收敛
所以 lim [an-a(n-1)] = 0 n趋向无穷
所以 a(n)^3 - a(n-1)^3
= [a(n)-a(n-1)] [a(n)^2 + a(n)a(n-1) + a(n-1)^2]
lim [a(n)^3 - a(n-1)^3] =0 n趋向无穷
所以级数an^3无限项求和收敛

类似的
an^n-a(n-1)^n
=(an-a(n-1))*(an^(n-1) + an^(n-2)*a(n-1) + ........+ a(n-1)^(n-1))
所以∑(an)^n收敛
（大学毕业10年了啊。。。不知这样证行不行）

这个没希望的，有反例，比如
a_{3n+1} = a_{3n+2} = 1/[2ln(n+1)]
a_{3n+3} = -1/ln(n+1)
显然\sum a_n = 0但是\sum a_n^k对任何k \neq 1都发散

错的。

a[n] = (-1)^n/√n，组成一个收敛的交错级数。但是∑a[n]^2是调和级数，从而发散