正四面体的四个定点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为

2025-05-17 03:48:42

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回答（1）：

设球O的半径为R。如图。设正四面体ABCD的棱长AB为a，则高线AK（K为垂足，也是底面△BCD的重心。）为4。底面的中线BK 交CD于E。连AE。则AE=BE=二分之根号三倍的a。BK=2KE=三分之根号三倍的a。

在右图中，直径AM的一段AK=4，另一段为KM。

在直角三角形ABM中，BK的平方等于AK 乘以KM。

从而，可以求出KM=a^2/12。

为了求出a，我们在直角三角形ABK中用勾股定理，不难算出a方等于24。

所以，KM=2。于是球的半径就是（4+2）/2=3。.

球的表面积为四倍的大圆面积，自己可以计算，此处从略。（如果是求球的体积，则是三分之四倍的π乘以R的立方）。

此题的误解，是认为点E在球面上。这一点，千万注意！E是弦CD的中点，当然在球内了。