58问答库 > 已知x>0,y>0且x+y=1,求证根号(x+1⼀2)+根号(y+1⼀2)<=2

已知x>0,y>0且x+y=1,求证根号(x+1⼀2)+根号(y+1⼀2)<=2

2025-05-22 18:45:41

推荐回答（3个）

回答（1）：

楼上两位都不对。
证：
x+y=1
x+1/2+y+1/2=2
[√(x+1/2)]²+[√(y+1/2)]²=2
由均值不等式，得
2[√(x+1/2)]²+[√(y+1/2)]²≥[√(x+1/2)+√(y+1/2)]²
[√(x+1/2)+√(y+1/2)]²≤4
√(x+1/2)+√(y+1/2)≤2

回答（2）：

因为(a+b)^2=a^2+b^2+2ab<= a^2+b^2+ a^2+b^2=2(a^2+b^2)，
令a=根号(x+1/2),b=根号(y+1/2)得：
所以[根号(x+1/2)+根号(y+1/2)]^2<=2[(x+1/2)+ (y+1/2)]
=4.
所以结论成立。

回答（3）：

证明：左边和的平方<=4,用到根号（xy)<1/2(x+y)