题目打错了吧，应该是1/sin2x+1/sin4x+1/sin8x+...+1/sin2^nx=cotx-cot2^nx
证明：有万能公式：sin2x=2tanx/[1+(tanx)^2] (1)
tan2x=2tanx/[1-(tanx)^2](2),得
1/sin2^nx={1+[tan2^(n-1)x]^2}/2tan2^(n-1)x （注：由(1)式而来）
=(2-{1-[tan2^(n-1)x]^2})/2tan2^(n-1)x
=2/2tan2^(n-1)x - 2/tan2^nx （注：由(2)式而来）
=cot2^(n-1)x-cot2^nx
所以左边=cotx-cot2x+cot2x-cot4x+cot4x-cot8x+...+cot2^(n-1)x-cot2^nx
=cotx-cot2^nx
证毕。
还有，归纳法是懒人的做法，不利于拓展思维。
数学归纳法证明:
当n=1时 左边=1/sin2x=cotx-cot2x
假设当n=k时等式成立
那么易证得当n=k+1时 等式也成立
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