求极限 lim [(1+x)^(1⼀x)-e ]⼀x x趋近于0 答案是e⼀2 不知道怎么算的 求解答谢谢

计算需要用到拉格朗日中值，和泰勒式
lim
[(1+x)^(1/x)-e
]/x
=lim(x→0)
[e^[ln(1+x)/x]-e]/x
=lim(x→0)
(e^ξ)[ln(1+x)/花储羔肥薏堵割瑟公鸡;x-1]/x
{用到e^ξ[ln(1+x)/x-1]=e^[ln(1+x)/x]-e,其中f(x)=e^x}
=lim(x→0)
(e^ξ){[x-(1/2)x^2+o(x^2)]/x-1}/x
=lim(x→0)
(e^ξ)[o(x^2)/x-x/2]/x
[ln(1+x)/x<ξ<1,当x->0时，ξ->1]
=lim(x→0)
-e/2

计算需要用到拉格朗日中值，和泰勒式
lim
[(1+x)^(1/x)-e
]/x
=lim(x→0)
[e^[ln(1+x)/x]-e]/x
=lim(x→0)
(e^ξ)[ln(1+x)/x-1]/x
{用到e^ξ[ln(1+x)/x-1]=e^[ln(1+x)/x]-e,其中f(x)=e^x}
=lim(x→0)
(e^ξ){[x-(1/2)x^2+o(x^2)]/x-1}/x
=lim(x→0)
(e^ξ)[o(x^2)/x-x/2]/x
[ln(1+x)/x<ξ<1,当x->0时，ξ->1]
=lim(x→0)
-e/2