58问答库 > 已知函数 f(x)=ln( e x +1)- 1 2 x ．（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断函数的奇偶性；（Ⅱ）

已知函数 f(x)=ln( e x +1)- 1 2 x ．（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断函数的奇偶性；（Ⅱ）

2025-05-17 20:12:05

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回答（1）：

（Ⅰ） f ′ (x)=

e x

e x +1

e x -1

2( e x +1)

，
当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，在（-∞，0）上是单调减函数
由 f(x)-f(-x)=ln

e x +1

e -x +1

-x=ln e x -x=0 ∴f（x）为R上的偶函数
（Ⅱ）由x² +2＞0，f（2ax-a）=f（|2ax-a|）
从而不等式等价于：x² +2≤|a||2x-1|
又不等式x² -5x+4≤0的解集为A=[1，4]的子集，
故1≤x≤4，∴2x-1＞0
即x² +2-2|a|x+|a|≤0
1⁰ 当△＜0时，不等式的解集为空集，满足条件，即|a|∈（-1，2）?|a|＜2成立；
2⁰ 当△=0时，|a|=2，此时x² -4x+4≤0?x=2∈A成立；
3⁰ 当△＞0时，|a|＞2，
设方程x² +2-2|a|x+|a|=0的两根为x₁ ，x₂ ，则

f(1)≥0

f(4)≥0

1＜|a|＜4

|a|＞2

?2＜|a|≤

综上， |a|≤

?a∈[-

，

]