求解用定义证明1-cosx是x→0时的无穷小

回答（1）：

（1-cosx）²=1+cos²x-2cosx，把它当做函数，求其导函数=2cosx（-sinx）-2（-sinx）=-2cosxsinx+2sinx。
同样求得sin²x的导函数为2sinxcosx
然后求两者比值的极限
limx→0
（1-cosx）²/sin²x=
limx→0
（-2cosxsinx+2sinx）/2sinxcosx=limx→0

（1/cosx）-1=0
由于前者与后者比值在x→0时的极限为0，因为判定（1-cosx）²是sin²x的高阶无穷小。

这题注意两点就行了，第一是无穷小的判定准则，当两个式子的比值极限在x趋向值时等于0，则分子的式子是分母式子的高阶无穷小。当极限值=1时，则两者为等价无穷小。当极限为一个非1非0的常数时，两者为同阶无穷小。第二是洛必达法则，当一个极限式子的分子和分母都是趋向于0的0比0的形式的时候，只要满足洛必达法则3个使用条件，其极限即可用分子分母的求导进行计算，一直求导至不再为0比0形式为止。

回答（2）：

（1-cosx）²=1+cos²x-2cosx，把它当做函数，求其导函数=2cosx（-sinx）-2（-sinx）=-2cosxsinx+2sinx。
同样求得sin²x的导函数为2sinxcosx
然后求两者比值的极限
limx→0
（1-cosx）²/sin²x=
limx→0
（-2cosxsinx+2sinx）/2sinxcosx=limx→0

（1/cosx）-1=0
由于前者与后者比值在x→0时的极限为0，因为判定（1-cosx）²是sin²x的高阶无穷小。

这题注意两点就行了，第一是无穷小的判定准则，当两个式子的比值极限在x趋向值时等于0，则分子的式子是分母式子的高阶无穷小。当极限值=1时，则两者为等价无穷小。当极限为一个非1非0的常数时，两者为同阶无穷小。第二是洛必达法则，当一个极限式子的分子和分母都是趋向于0的0比0的形式的时候，只要满足洛必达法则3个使用条件，其极限即可用分子分母的求导进行计算，一直求导至不再为0比0形式为止。

回答（3）：

泰勒公式
和
无穷小的阶数
这两个概念泰勒展开：cosx=1-1/2!x^2+1/4!x^4-....sinx=x-1/3!x^3+1/5!x^5-...于是xcosx-sinx=-1/3x^3+1/30x^5-...lim(x→0)(xcosx-sinx)/x^3=lim(x→0)[-1/3x^3+1/30x^5-...]/x^3=lim(x→0)[-1/3x^3]/x^3=-1/3其中运用了一个等价无穷小...设a(x),b(x)均为x0处的无穷小，（就是说x→x0，a(x),b(x)→0）b(x)≠0，
若lim(x→x0)
a(x)/b(x)=k≠0则称a(x)与b(x)为同阶无穷小当k=1时，称a(x),b(x)等价...若k=0则称a(x)是b(x)的高阶无穷小（理解为更迅速→0，比如x²是x的高阶无穷小）记为a(x)=
o(b(x)),则有lim(x→x0)
o(b(x))/b(x)=0