因为 lim x→0 g(x)＝ lim x→0 f( 1 x )＝ lim u→∞ f(u)=a（令u＝ 1 x ），又g（0）=0，所以，①当a=0时， lim x→0 g(x)＝g(0)，即g（x）在点x=0处连续；②当a≠0时， lim x→0 g(x)≠g(0)，即x=0是g（x）的第一类间断点．因此，g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关．故选：D．
选D，详情如图所示
