1824年,阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明．更详细的证明,于1826年发表在克雷尔杂志第一期上．题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”．在这篇论文中,阿贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷．鲁菲尼的“证明”缺乏域的概念,所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行工作．另外,鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题,后称阿贝尔定理．该定理说,如果一个代数方程能用根式求解,则出现在根的表达式中的每个根式,一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的．
上面所说的阿贝尔定理,也就是“置换群”的思想.
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