58问答库 > 已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：数列为等差数

已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：数列为等差数

2025-05-22 07:48:41

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回答（1）：

解答：（1）证明：由已知得，(Sn+1?Sn)?(Sn?Sn?1)＝1(n≥2，n∈N*)，----------------（1分）
即an+1?an＝1(n≥2，n∈N*)，且a₂-a₁=1．----------------（2分）
所以数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，
所以a_n=n+1．------------------（4分）
（2）解：由（1）知bn＝(n+1)?2n，它的前n项和为T_nTn＝2?21+3?22+4?23+…+n?2n?1+(n+1)?2n．①2Tn＝2?22+3?23+4?24+…+n?2n+(n+1)?2n+1．②
①-②得，?Tn＝2?21+22+23+…+2n?(n+1)?2n+1-----------------（6分）=4+

22?(1?2n?1)

1?2

?(n+1)?2n+1＝?n?2n+1∴Tn＝n?2n+1．--------------------（8分）
（3）解：∵a_n=n+1，∴cn＝4n+(?1)n?1λ?2n+1，
要使c_n+1＞c_n恒成立，即3×4ⁿ-3（-1）^n-1λ2ⁿ⁺¹＞0恒成立，∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，…（12分）
（i）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ii）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．…（15分）
综上所述：存在λ=-1，使得对任意的n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．…（16分）