58问答库 > （2014?开封二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）

（2014?开封二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）

2025-05-21 02:53:39

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回答（1）：

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA₁，A₁B，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
∴△A₁AB为正三角形，
∴A₁O⊥AB，
∵CA=CB，∴CO⊥AB，
∵CO∩A₁O=O，
∴AB⊥平面COA₁，
∵A₁C?平面COA₁，
∴AB⊥A₁C．
（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA₁，CA=CB，∠BAA₁=60°，
∴CO=A₁O=

22?1

，

∵A₁C=

，
∴CO2+A1O2=A1C2，
∴OC⊥A₁O，
∵OC∩AB=O，∴A₁O⊥平面ABC，
建立如图空间直角坐标系O-xyz，
O（0，0，0），A（1，0，0），A1(0，

，0)，C（0，0，

），
设平面AA₁C的法向量为

＝(x1，y1，z1)，
则