(2011?浙江模拟)三棱锥P-ABC中,PA=AB=AC,∠BAC=120°,PA⊥平面ABC,点E、F分别为线段PC、BC的中点,

2025-05-05 22:40:34
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解:(1)PB∥平面AEF,(2分)
∵点E、F分别为线段PC、BC的中点,
∴EF为△PBC的中位线,
∴EF∥PB,(4分)
又PB?平面AEF,EF?平面AEF,
∴PB∥平面AEF.(6分)
(2)过F作FH⊥AC于点H,由于PA⊥平面ABC,
∴平面PAC⊥平面ABC,
从而FH⊥平面PAC,连接PH,可得∠FPH即直线PF与平面PAC所成的角.(10分)
不妨设PA=AB=AC=1,则在△ABC中,
计算可得AF=

1
2
FH=
3
4

又Rt△PAF中,PF=
PA2+AF2
5
2

∴在Rt△PFH中,sin∠FPH=
FH
PF
3
4
5
2
15
10

即直线PF与平面PAC所成角的正弦值为