解答：解：（1）连接MC．（1分）
由A（-1，0），M（1，0）可知，
OA=OM=1，MA=CM=2，（2分）
在Rt△OCM中，OM=1，CM=2，
根据勾股定理得：OC=
=
CM2-OM2
，
3
∴点C的坐标是（0，
）； （4分）
3
（2）当P点运动时，线段AQ的长度不改变． （5分）
由垂径定理知：
=AC
，AD
∴∠P=∠ACD，（6分）
∵CQ平分∠PCD，
∴∠P+∠PCQ=∠ACD+∠DCQ，
即：∠ACQ=∠AQC，
∴AQ=AC．（7分）
在Rt△OCA中，OC=
，OA=1，
3
∴AC=2．
线段AQ的长度为2．（8分）
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