证明导数极限定理（高数题）？

2025-05-20 03:03:46

推荐回答（5个）

回答（1）：

|设lim[xx0+] f(x)=A，lim[xx0-] f(x)=A

由lim[xx0+] f(x)=A，则对于任意ε>0，存在δ1>0，当版00，当 -δ2x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立，若x0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，此时权有：0。

同理，此时有：-δ

扩展资料：

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。

回答（2）：

|设lim[xx0+] f(x)=A，lim[xx0-] f(x)=A

由lim[xx0+] f(x)=A，则对于bai任意ε>0，存在δ1>0，当00，当 -δ2x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立，

若x0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立

此时有：0

同理，此时有：-δ

扩展资料：

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

参考资料来源：百度百科-极限

回答（3）：

这种题我变得越来越在行了，呵呵，利用f(x)对两个极限进行转换位置，马上可以证得。

回答（4）：

设lim[xx0+] f(x)=A，lim[xx0-] f(x)=A
由lim[xx0+] f(x)=A，则对于任意ε>0，存在δ1>0，当00，当 -δ2x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立，
若x0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立
此时有：0
同理，此时有：-δ

回答（5）：

取ε＝｜A｜＆＃47；2，用极限定义对ε＝｜A｜＆＃47；2存在正数δ，当0＜｜x－x0｜＜δ时，有｜f（x）－A｜＜ε＝｜A｜＆＃47；2，所以｜f（x）｜＝｜f（x）－A＋A｜≥｜A｜－｜f（x）－A｜＞｜A｜＆＃47；2