假设当x趋于x0时，f1(x),f2(x)……fn(x)都趋于0，则由极限的定义可知
对于任意给出的一个正数ε，必存在一个正数δ，使得|x-x0|<δ时，|fn(x)-0|=|fn(x)|<ε成立（n为正整数）
现在任取一个正数ε，取α=ε/n，则必存在一个正数δ1，使得|x-x0|<δ1时，|f1(x)|<α
同理得到δ2，δ3……δn,取δ=min{δ1,δ2……δn}
则|x-x0|<δ时，必有|fk(x)|<ε（k=1,2,……n）
而|f1(x)+f2(x)+……+fn(x)|<|f1(x)|+|f2(x)|+……+|fn(x)|<α*n=ε
则由ε的任意性可知， lim f1(x)+f2(x)+……+fn(x)=0
命题得证
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