58问答库 > 如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E

如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E

2025-05-13 09:38:47

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回答（1）：

证明：（1）连接OD，…（1分）

∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵AB=AC，
∴∠OCD=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD ∥ AB，…（2分）
∵ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AB⊥EF；…（3分）
（2）连接AD、CG，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
∵AB⊥EF，
∴DE ∥ CG，
∴∠F=∠GCA，…（4分）
∵AB=AC，
∴DC=

BC=5，
Rt△ADC中，AD=

A C 2 -C D 2

=12，…（5分）
∵S_△ABC =

AD?BC=

AB?CG，
∴CG=

AD?BC

120

，…（6分）
在Rt△CGA中，cos∠GCA=

120

169

，
∴cos∠F=

120

169

．…（7分）