已知函数f（x）定义域是{x|x ≠ k 2 ，k∈Z，x∈R }，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=- 1

2025-05-23 04:30:03

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回答（1）：

（1）∵f（x+2）=f（x+1+1）=-

f(x+1)

=f（x），
所以f（x）的周期为2…（2分）
所以f（x）+f（2-x）=0?f（x）+f（-x）=0，
所以f（x）为奇函数．…（4分）
（2）任取x∈（0，

）?-x∈（-

，0）?1-x∈（

，1）．
∴f（x）=-f（-x）=

f(1-x)

∴f（x）=

3 1-x

= 3 x-1 ．…（8分）
（3）任取x∈（2k+

，2k+1）?x-2k∈（

，1），
∴f（x）=f（x-2k）=3^x-2k ；
∴log₃ f（x）＞x2-kx-2k有解
即x² -（k+1）x＜0在x∈（2k+

，2k+1）上有解（k∈N₊ ），
所以：（0，k+1）∩（2k+

，2k+1）≠?，
故有k+1＞2k+

，无解．
故不存在这样的正整数．…（12分）