若函数f（x）=22x+2xa+a+1．（1）求函数f（x）的值域；（2）若f（...

解：（1）令t=2x＞0，可得f（x）=g（t）=t2+at+a+1=(t+a2)2+a+1-a24，
当a≥0时，-a2≤0，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-a2，函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，g（t）＞g（0）=a+1，
故函数的值域为（a+1，+∞）．
当a＜0时，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-a2＞0，函数g（t）的最小值为g（-a2）=a+1-a24，
故函数的值域为[a+1-a24，+∞）．
（2）若f（x）＞-3对任意的x∈[0，2]恒成立，则f（x）在[0，2]上的最小值大于-3，
即g（t）在[1，4]上的最小值大于-3．
①当a≥0时，由于g（t）在[1，4]上单调递增，故g（t）的最小值为g（1）=2a+2，由2a+2＞-3，求得a＞-52，
综合可得当a≥0．
②当-2≤a＜0，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-a2（0，1]，g（t）在[1，4]上单调递增，
函数g（t）的最小值为g（1）=2a+2，由2+2a＞-3，求得a＞-52，
综合可得-2≤a＜0．
③当-8＜a＜-2时，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-a2∈（1，4），g（t）的最小值为g（-a2）=a+1-a24，
由a+1-a24＞-3，求得2-25＜a＜2+25，综合可得2-25＜a＜-2．
④当a≤-8，二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-a2≥4，g（t）在[1，4]上单调递减，
g（t）的最小值为g（4）=5a+17，由5a+17＞-3，求得a＞-4，不满足前提条件a≤-8，故舍去．
综合①②③④可得，a≥2-25．
（3）f（x）的零点的个数，即函数g（t）=t2+at+a+1在（0，+∞）上的零点个数．
①当△=a2-4（a+1）＜0时，即2-22＜a＜2+22时，函数g（t）在（0，+∞）上的零点个数为0．
②当a=2-22或a=2+22 时，△=0，再根据二次函数g（t）的图象的对称轴方程为t=-a2，
可得当a=2-22时，t=-a2＞0，函数g（t）在（0，+∞）上有唯一零点；当a=2+22 时，t=-a2＜0，函数g（t）在（0，+∞）上没有零点．
③当a＜2-22时，△＞0，由t=-a2＞0，g（0）=a+1＞0，可得函数g（t）在（0，+∞）上有2个零点；
当a＞2+22 时，△＞0，由t=-a2＜0，g（0）=a+1＞0，可得函数g（t）在（0，+∞）上没有零点．
综上可得，a＞2-22时，函数g（t）在（0，+∞）上的零点个数为0；
当a=2-22时，函数g（t）在（0，+∞）上有唯一零点；
当a＜2-22时，函数g（t）在（0，+∞）上有2个零点．