x^2+(y-5)^2=16绕x轴转的体积

体积为160π²

分析过程如下：

x²+(y-5)²=16即为：x²+(y-5)²=4²；

因此x²+(y-5)²=16表示一个圆心在(0，5)，半径为4的圆；

此圆绕x轴旋转一周即得一园环；

y=5±√(16-x²)，取旋转体的外径R=5+√(16-x²)，内径r=5-√(16-x²)；

于是圆环的体积：

V=【-4，4】π∫(R²-r²)dx

=【-4，4】π∫{[5+√(16-x²)]²-[5-√(16-x²)]²}

=【-4，4】20π∫√(16x²)dx

=[(x/2)√(4²-x²)+(16/2)arcsin(x/4)]【-4，4】

=20π[8arcsin1-8arcsin(-1)]

=20π[4π+4π]

=160π²

扩展资料：

圆的方程

平面内一动点到两定点的距离之比（或距离的平方之比），等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。

即在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆可以表示为集合{M||MO|=r},圆的标准方程是(x - a) ² + (y - b) ² = r ²。其中，o是圆心，r 是半径。

证明：点坐标为(x1,y1)与(x2,y2)，动点为(x,y)，距离比为k，由两点距离公式。满足方程(x-x1)2 + (y-y1)2 = k2×[ (x-x2)2 + (y-y2)2] 当k不为1时，整理得到一个圆的方程。

求曲线x²+(y-5)²=16所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解：x²+(y-5)²=16是一个园心在(0，5)，半径为4的园；绕x轴旋转一周即得一园环(手躅).
y=5±√(16-x²)，取旋转体的外径r=5+√(16-x²)，内径r=5-√(16-x²)；于是得园环的体积：
v=【-4，4】π∫(r²-r²)dx=【-4，4】π∫{[5+√(16-x²)]²-[5-√(16-x²)]²}=【-4，4】20π∫√(16-x²)dx
=[(x/2)√(4²-x²)+(16/2)arcsin(x/4)]【-4，4】=20π[8arcsin1-8arcsin(-1)]=20π[4π+4π]=160π²

x^2+(y-5)^2=16

y1 = 5+√(16-x^2) or y2 = 5-√(16-x^2)

V
= ∫(-4->4) π(y1^2-y2^2) dx
= π∫(-4->4) { [5+√(16-x^2)]^2 -[ 5-√(16-x^2)]^2 } dx
= 20π∫(-4->4) √(16-x^2) dx
=40π∫(0->4) √(16-x^2) dx
=40π∫(0->π/2) 16 (cosu)^2 du
=320π∫(0->π/2) (1+cos2u) du
=320π [ u+(1/2)sin2u] |(0->π/2)
=160π

let
x= 4sinu
dx=4cosu du
x=0, u=0
x=4, u=π/2

先画草图，再求体积，答案如图所示