x趋向无穷时(x^2+x)^1⼀2-(x^2-x)1⼀2的极限

2025-05-15 14:54:00

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回答（1）：

分子分母同乘[√(x^2+x)+√(x^2-x)]有理化

lim(x->+∞) √(x^2+x)-√(x^2-x)
=lim(x->+∞) [(x^2+x)-(x^2-x)]/[√(x^2+x)+√(x^2-x)]
=lim(x->+∞) 2x/[√(x^2+x)+√(x^2-x)]
=lim(x->+∞) 2/[√(1+1/x)+√(1-1/x)] 【此时 x>0】
= 2/2
= 1

lim(x->-∞) √(x^2+x)-√(x^2-x)
=lim(x->-∞) [(x^2+x)-(x^2-x)]/[√(x^2+x)+√(x^2-x)]
=lim(x->-∞) 2x/[√(x^2+x)+√(x^2-x)]
=lim(x->-∞) 2/[-√(1+1/x)-√(1-1/x)] 【此时 x<0】
= 2/(-2)
= -1

∴ lim(x->∞) √(x^2+x)-√(x^2-x) 不存在。