（1）由题意，令g(x)＝lnx?
?mx 2
+m?1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立m?2 2x
g′(x)＝
?1 x
+m 2
＝m?2 2x2
…4分?(x?1)(mx+m?2) 2x2
当?1＜
?1≤1时，即m≥1时g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上递减．2 m
∵gmax=g（1）≤0
∴原式成立．
当
?1＞1，即0＜m＜1时，∵g(1)＝0，gmax＝g(2 m
?1)＞g(1)＝02 m
∴不能恒成立．
综上：m≥1…9分
（2）证明：取m=1，则lnx≤
(x?1 2
)，∴xlnx≤1 x
x2?1 2
令x=n，∴nlnn≤
n2?1 2
∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤
[22+32+..+n2+1?n]1 2
∵12+22+…+n2＝
n(n+1)(2n+1) 6
∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤
，原不等式成立…12分2n3+3n2?5n 12
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