高数书上的问题(有关幂级数)

2025-05-21 02:24:13
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回答(1):

【俊狼猎英】团队为您解答~
e^(-1/x^2)由初等函数复合得到,只要保证连续,一定是任意阶可导的
事实上,f(n)(x)可以表示成P(n)(1/x)e^(-1/x^2)的形式(n次多项式),
f(n+1)(0)=lim(x->0)[f(n)(x)-f(n)(0)]/(x-0)=0
用数学归纳法可证

麦克劳林级数使用f(n)(0)求和近似f(x),本例f(n)(0)全部是0
因此麦克劳林级数得到的和函数s(x)=0,在x不为0时,显然不等于f(x)

回答(2):

(1)因为指数函数是任意阶可导的

导数存在的充要条件是左导数等于右导数

(2)麦克劳林级数恒等于零,不等于指数函数