58问答库 > 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（I）证明：PA⊥BD（

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（I）证明：PA⊥BD（

2025-05-12 23:26:32

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回答（1）：

解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得BD=

，
从而BD² +AD² =AB² ，
故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，
可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．
故PA⊥BD．
（II）解：作DE⊥PB于E，
已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，
由（I）知，BD⊥AD，
又BC∥AD，∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，
则BD=

，PB=2．
根据DE·PB=PD·BD，
得DE=

，即棱锥D﹣PBC的高为

．