单位矩阵的可逆矩阵是

2025-05-14 18:42:00

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回答（1）：

按分块矩阵的乘法
A^-1[A,E]
=
[
A^-1
A,
A^-1
E]
=
[
E,
A^-1
].
(*)
教材中有这样的结论:
n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘积.
当A可逆时,
其逆矩阵A^-1
也是可逆的.
所以A^-1可以表示成初等矩阵的乘积:
A^-1
=
P1P2...Ps.
Pi是初等矩阵.
代入(*)式得
P1P2...Ps
[A,E]
=
[
E,
A^-1
].
教材中有这样的结论:
初等矩阵左乘一个矩阵,
相当于对此矩阵实施一次相应的初等行变换.
所以
P1P2...Ps
[A,E]
=
[
E,
A^-1
]
相当于
对[A,E]
实施一系列初等行变换,
当左边子块化成单位矩阵时,
右边子块就是矩阵A的逆!
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