一道导数题

2025-05-17 23:22:53

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回答（1）：

手机不方便输太多公式，我大致说一下思路。
f(x)=x³+2ax²+x+3，因为三次项系数为正，所以一般来说这样的三次函数图像是先增再减再增，即先是极大值再极小值；或者也有可能在实数域内都是单调增。f(x)与x轴的交点可能是一个、两个或三个。
由于f(x)在(-∞,-1]上小于等于0恒成立，因此只需让x=-1位于函数f(x)单调增区间，并且f(-1)<=0，解得 a <= -1/2。
x=-1位于函数f(x)单调增区间有两种可能：
1、f(x)是增函数，f'(x)=3x²+4ax+1>0，判别式小于0，即16a²-12<0，解得 -√3/2 2、f(x)的极大值点>-1，极大点是由 f'(x)=0解得两个根中较小的一个，则 [-2a-√(4a²-3)]/3>-1，得a<1。
综上所述，a<=-1/2。