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58问答库 > 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an=-2SnSn-1（n≥2）．（1）求S1，S2，S3；（2）求数列{an}的

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an=-2SnSn-1（n≥2）．（1）求S1，S2，S3；（2）求数列{an}的

2025-05-13 16:30:08

推荐回答（1个）

回答（1）：

（1）解：∵a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1，
∴S₁=

1

2

，S₂=

1

4

，S₃=

1

6

；
（2）解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴

1

Sn

=2n，
∴S_n=

1

2n

，
∴n≥2时，a_n=

1

2n-2n2

，
∴a_n=

1

2

，n=1

1

2n-2n2

，n≥2

（3）证明：∵S_n²=

1

4n2

＜

1

4

（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2）
∴n≥2时，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²＜

1

4

+

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

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