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复数z1,z2满足z1z2≠0,|z1+z2|=|z1-z2|,证明(z1)^2⼀(z2)^2<0

2025-05-07 09:17:43

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回答（1）：

由z1=2+i且z1?z2=3+4i，
若|z1|＞|z2|，根据给出的定义运算，则z2＝
3+4i
2+i
＝
(3+4i)(2?i)
(2+i)(2?i)
＝
10+5i
5
＝2+i
此时|z1|＝|z2|＝
22+12
＝
5
，与|z1|＞|z2|矛盾．
若|z1|≤|z2|，根据给出的定义运算，则z2=（3+4i）-（2+i）=1+3i．
此时|z1|＝
5
，|z2|＝
12+32
＝
10
，符合|z1|≤|z2|．
所以，复数z2=1+3i．
故选b．

回答（2）：

证明：
用大写字母Z表示z的共轭复数
∵
|z1+z2|=|z1-z2|
∴
(z1+z2)(Z1+Z2)=(z1-z2)(Z1-Z2)
∴
z1Z2+Z1z2=-z1Z2-z2Z1
∴
z1Z2+Z1z2=0
∴
z1/z2=-Z1/Z2
∴
z1/z2是纯虚数，设为bi(b≠0）
∴
(z1)^2/(z2)^2=(bi)²=-b²<0