解答：（1）解：当a=0时，f（x）==，
得f′(x)＝＝0，
∵x∈（1，+∞），
∴x＝．
列表：
|
（1，） |
|
(，+∞) |
| f′（x） |
- |
0 |
+ |
| f（x） |
减函数 |
极小值 |
增函数 |
∴当a=0时，f（x）在（1，+∞）上的最小值为
f()＝2e；
（2）（i）解：由
=x-lnx（x＞0，ax+lnx≠0），
分离参数得
a＝?，令
h(x)＝?．
由
h′(x)＝?＝
| lnx(1?lnx)(2x?lnx) |
|
x2(x?lnx)2
|
=0，
得x=1或x=e．
列表：
|
（0，1） |
（1，e） |
（e，+∞） |
| h′（x） |
- |
+ |
- |
| h（x） |
减函数 |
增函数 |
减函数 |
而x→0，h（x）→+∞，h（1）=1，
h(e)＝1+，x→+∞，h（x）→1．
结合函数的单调性可得，实数a的取值范围为
(1，1+)；
（ii）证明：由（i）知0＜x
1＜1＜x
2＜e＜x
3，
a＝?=
?，令
u＝，
则
a＝?u，即u
2+（a-1）u+1-a=0，
u
1+u
2=1-a＜0，u
1u
2=1-a＜0，画
u＝图象．
不妨设u
1＜u
2，则
u1＝，
u2＝＝，
| (f(x1))2f(x2)f(x3) |
|
x12x2x3
|
＝
| (g(x1))2g(x2)g(x3) |
|
x12x2x3
|
=
(
)2
=
(1?)(1?)(1?)=
(1?u1)2(1?u2)(1?u3)=
[(1?u1)(1?u2)]2=
[1?(u1+u2)+u1u2]2＝[1?(1?a)+(1?a)]2＝1．
故：（f（x
1））
2f（x
2）f（x
3）=x
12x
2x
3．
