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已知数列{an}的首项a1=23，an+1=2anan+1，n=1，2，3，…．令bn=1an-1．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，
已知数列{an}的首项a1=23，an+1=2anan+1，n=1，2，3，…．令bn=1an-1．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，
2025-05-13 13:18:58
推荐回答（1个）
回答（1）：
解答：（Ⅰ）证明：∵a
n+1
=
2
a
n
a
n
+1
，
∴
a
n+1
a
n
+a
n+1
=2a
n
，∴1+
1
a
n
=
2
a
n+1
，
∴
1
2
+
1
2
a
n
＝
1
a
n+1
，∴
1
2
(
1
a
n
?1)＝
1
a
n+1
?1
，
∵
a
1
＝
2
3
，∴
1
a
1
?1＝
3
2
?1＝
1
2
，
∵b
n
=
1
a
n
-1，∴{b
n
}是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列，
∴b
n
=
1
a
n
-1=
(
1
2
)
n
．
（Ⅱ）解：∵c
n
=2n?b
n
=2n?（
1
2
）
n
，
∴T
n
=2?
1
2
+4?
1
2
2
+6?
1
2
3
+…+2n?
1
2
n
，①
1
2
T
n
=2?
1
2
2
+4?
1
2
3
+6?
1
2
4
+…+2n?
1
2
n+1
，②
∴①-②，得
1
2
T
n
=1+
1
2
+
1
2
2
+…+
1
2
n?1
-
n
2
n
=
1?
1
2
n
1?
1
2
-
n
2
n
=2-
n+2
2
n
．
∴
T
n
=4-
n+2
2
n?1
．
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