设k∈R，函数f(x)＝1x (x＞0)ex(x≤0)，F（x）=f（x）+kx，x∈R．（1）当k=1时，求函数F（x）的值域；（2

2025-05-13 18:25:04

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回答（1）：

（1）F(x)＝

+x(x＞0)

ex+x(x≤0)

，
当x＞0时，F(x)＝

+x≥2，即x=1时，F（x）最小值为2．
当x≤0时，F（x）=e^x+x，在（-∞，0）上单调递增，所以F（x）≤F（0）=1．
所以k=1时，F（x）的值域为（-∞，1]∪[2，+∞]．
（2）依题意得F′(x)＝

(x＞0)

ex+k(x≤0)

①若k=0，当x＞0时，F′（x）＜0，F（x）递减，当x≤0时，F′（x）＞0，F（x）递增．
②若k＞0，当x＞0时，令F′（x）=0，解得x＝

，
当0＜x＜

时，F′（x）＜0，F（x）递减，当x＞

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回答（2）：

解：，，
对于，
当k≤0时，函数F(x)在（-∞，1）上是增函数；
当k＞0时，函数F(x)在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当k≥0时，函数F(x)在[1，+∞)上是减函数；
当k＜0时，函数F(x)在上是减函数，在上是增函数。