58问答库 > 如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：（1）平面AMD ∥ 平面BPC；（

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：（1）平面AMD ∥ 平面BPC；（

2025-05-22 19:15:10

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回答（1）：

证明：（1）因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB ∥ MA．因PB?平面BPC，MA不在平面BPC内，所以MA ∥ 平面BPC．同理DA ∥ 平面BPC，因为MA?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD=A，所以平面AMD ∥ 平面BPC．（6分）
（2）连接AC，设AC∩BD=E，取PD中点F，连接EF，MF．
因ABCD为正方形，所以E为BD中点．
因为F为PD中点，所以EF

∥

PB．因为AM

∥

PB，所以AM

∥

EF．
所以AEFM为平行四边形．所以MF ∥ AE．因为PB⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PB⊥AE．所以MF⊥PB．
因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以MF⊥BD．
所以MF⊥平面PBD．又MF?平面PMD．
所以平面PMD⊥平面PBD．（14分）