数论题目，要考试了，跪求各位大神帮帮忙，第5，6，9，12，能答几题算几题

练练手
第五题：
p=2显然，设p>2.
考察同余式
x^8-16=0 mod p
(x^4-4)(x^4+4)=0 mod p
把p按 mod 8分类只有4类.这四类恰好表明要么(2/p)=1,要么(-2/p)=1.这也对应着x^2=±2 mod p有解
于是一定有x^4-4=0 mod p那么就一定有x^8=16 mod p.这就完成了证明.
第六题:
用一下wilson定理(p-1)!=-1 mod p
x^2=-1 mod p
x^2=(p-1)! mod p
x^2=[(-1)^(p-1)/2]*(((p-1)/2)!)^2
x^2=((2m)!)^2 mod p
于是x=±(2m)! mod p是这个方程的解.
这是不是意味着题目出的不太好？
第九题:
这个是Gauss二次互反律的应用.(当然有很多等价的定理，不过这个是用的最普遍的)
(1):
(3/p)(p/3)=(-1)^((p-1)/2)=(-1/p)
于是有:
(p/3)=(3/p)(-1/p)
(3/p)=1意味着(p/3)=(-1/p),把这个按p对mod 3和 mod 4分类，马上就有结果了.
(2):
由第一题的结果有 :
(p/3)=(-3/p).
那这个很明显(p/3)=1.结果显而易见是吧?
第12题:
嗯,这个比较好玩。我想想哈..
这个应该是要用剩余系里的二次剩余与非二次剩余个数相同来做.
这个怎么打呢..,要是你真想会做,你可以看看我给你的思路,百度这不好打.
你想想(a,p)=1意味着什么?他意味着{0,1,2....p-1}与{0,a,2a,...a(p-1)}是等价的剩余系.
意味着在mod p意义下两个剩余系是一样的.同样,你在剩余系里对每个元素加上b,这个剩余系在mod p的意义下根本没变!
那好办了,在mod p的完全剩余系里,你对((ax+b)/p)求和与对(x/p)求和结果是一样的.
就如我上面说的剩余系里二次剩余与非二次剩余个数相同.因此求和结果必然是0+(0/p)=0.是吧？