已知函数f(x)＝log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）证明：对任意的实数b，函数y=f

2025-05-18 18:32:03

推荐回答（1个）

回答（1）：

（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数可知f（-x）=f（x）恒成立，所以log4(4?x+1)?kx＝log4(4x+1)+kx，所以有（1+2k）x=0对一切x∈R恒成立，故k＝?

，
从而f(x)＝log4(4x+1)?

x．
（Ⅱ）由题意可知，只要证明y＝f(x)+

x＝log4(4x+1)+x在定义域R上是单调函数即可．
证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，那么f(x1)?f(x2)＝[log4(4x1+1)+x1]?[log4(4x2+1)+x2]＝log4

4x1+1

4x2+1

+x1?x2，
因为x₁＜x₂，
所以0＜4x1＜4x2，x₁-x₂＜0，0＜

4x1+1

4x2+1

＜1，log4

4x1+1

4x2+1

＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数y＝f(x)+

x在定义域R上是单调增函数．
对任意的实数b，函数y=f（x）的图象与直线y＝?

x+b最多只有一个公共点．
（Ⅲ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x+1)?

x＝log4(a?2x?

a)有且只有一个实根，
化简得方程2x+

＝a?2x?